Vtipná algebra

V úloze jsou zdánlivě náhodné konstanty, například $42$ vypadá, že by mohla být uměle nastavená. Kdybychom měli ručně vyhodnocovat takto velká čísla, zblázníme se. Zkuste si úlohu pro menší konstanty.

Platí

• $1 \circ 0 = 4$
• $(2 \circ 1) \circ 0 = 2$
• $((3 \circ 2) \circ 1) \circ 0 = 2$
• $(((4 \circ 3) \circ 2) \circ 1) \circ 0 = 2$

Není podezřelé, že to po čase vychází stále 2?

Všimněme si speciální vlastnosti čísla $2$ vzhledem k operaci $\circ$. Pro libovolné $m \ne -2$ platí

Výraz ze zadání vyhodnocujeme postupně zleva, přičemž čísla vstupují do operace v pořadí $42, 41, \dots, 2, 1, 0$. V momentě, kdy budeme mezivýsledek skládat s číslem $2$, se hodnota celého výrazu změní na $2$. Všechny následující operace budou mít tvar $2 \circ k$, což je opět $2$. Výsledek je proto $2$.

Podmínku $a+b+c=0$ chceme šikovně využít, abychom se zbavili komplikovaných zlomků nalevo.

Klíčem je uvědomit si, že $a+b=-c$, tedy první zlomek je vlastně roven $-\frac 1c$, podobně zbylé.

Po úpravě stačí ukázat

po roznásobení

Teď potřebujeme znovu použít podmínku $a+b+c=0$. Co takového bychom s ní mohli udělat, abychom dostali výrazy, o kterých máme něco dokázat?

Z podmínky $a+b+c=0$ vyplývá $a+b=-c$, $b+c=-a$ a $c+a=-b$. Levou stranu dokazované rovnosti proto upravíme na

Zároveň umocněním rovnosti $a+b+c=0$ na druhou dostaneme

z čehož vyjádříme $ab+bc+ca = -\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)$. Dosazením tohoto výrazu do upravené levé strany ihned získáme

což jsme chtěli dokázat.

Trikem je zjednodušit každý zlomek individuálně použitím podmínky $ab+bc+ca=1$.

Náš zkoumaný výraz je plný písmen a je tam jedno číslo, $1$. Co takhle se ho zbavit?

Upravme první zlomek dosazením $1 = ab+bc+ca$ do čitatele:

Cyklicky pro druhý a třetí zlomek dostaneme $bc+ab$ a $ca+bc$. Sečtením všech tří upravených výrazů získáme

Jelikož $ab+bc+ca=1$, hodnota výrazu je $2$.

Ještě potřebujeme dokázat, že tato hodnota je dosažitelná – zřejmě však existují kladná čísla $a,b,c$, pro která $ab+bc+ca=1$, například $a=b=c=\sqrt{3}/3$.

Klíčem je provést nějakou šikovnou úpravu některých zlomků, která umožní použít podmínku $abc=1$. Co je taková běžná věc, kterou umíme dělat se zlomky?

Jednoduchý způsob, jak využít $abc=1$ např. v prvním zlomku, je rozšířit ho $c$, potom máme

Tento zlomek má čistou náhodou stejný jmenovatel jako poslední zlomek.

První zlomek rozšíříme číslem $c$ a druhý výrazem $ac$. S využitím $abc=1$ tak upravíme jejich jmenovatele na tvar shodný se třetím zlomkem:

Sečtením všech tří zlomků dostaneme

Jediná možná hodnota výrazu je $1$. Příklad $a=b=c=1$ přitom dokazuje, že tato hodnota je dosažitelná.

Trikem je upravit každou závorku individuálně použitím podmínky $a+b+c=1$.

Dobrým indikátorem, jak upravit každou závorku, je fakt, že v jednotlivých závorkách máme $a+bc$, kde je první člen stupně 1 a druhý stupně 2 – co takhle je nějak oba udělat stupně 2?

Využijeme podmínku $a+b+c=1$ na úpravu výrazů v závorce. Pro první závorku platí:

Analogicky odvodíme $b+ca = (a+b)(b+c)$ a $c+ab = (a+c)(b+c)$. Vynásobením všech tří výrazů dostaneme

Výsledek je součinem druhých mocnin reálných čísel, a proto je nezáporný.

Zapomeňte na to, co dokazujeme. Kdy vůbec může platit předpoklad? Zkuste najít všechny trojice $a,b,c$, které tuto rovnost splňují.

Klíčem je uvědomit si, že po roznásobení podmínky dostaneme

Tento výraz se překvapivě dá rozložit na součin. Odtud to už bude přímočaré.

Upravme podmínku ze zadání vynásobením jmenovateli:

Výraz na levé straně upravíme postupným vytýkáním na součin:

Rovnost tedy platí právě tehdy, když jsou alespoň dvě z čísel opačná. Bez újmy na obecnosti nechť $b=-a$. Potom pro každé liché přirozené číslo $n$ platí $b^n = (-a)^n = -a^n$. Levá strana dokazované rovnosti je

Pravá strana je

Levá strana se rovná pravé, čímž je důkaz hotov.

Zadání nám říká, že platí

Uvědomění si, že jde o soustavu tří rovnic, je dobrý krok k tomu, aby bylo přirozené zkoušet různě kombinovat rovnice, jak je běžné při práci se soustavami.

Po chvíli snadno zjistíme, že sčítání a odčítání rovnic k ničemu nevede. Klíčem je tyto rovnice násobit. K tomu však potřebujeme každou rovnici trochu upravit, aby se nám při násobení něco vykrátilo.

Z rovnosti $a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{c}$ vyjádříme rozdíl $a-b$:

Cyklicky pro další dvojice získáme

Jelikož jsou čísla $a,b,c$ navzájem různá, rozdíly $a-b$, $b-c$ a $c-a$ jsou nenulové. Vynásobením těchto tří rovností dostaneme

Vydělením nenulovým výrazem $(a-b)(b-c)(c-a)$ získáme $1 = \frac{1}{(abc)^2}$, tedy $(abc)^2 = 1$, z čehož vyplývá $|abc|=1$.

Sečtením rovnic dostaneme přesně levou stranu dokazované rovnosti. Stačí tedy dokázat něco, co vypadá zdánlivě jednodušeji.

Podle prvního návodu jsme už zjistili, že součet rovnic z podmínky má smysl. To ještě není všechno, potřebujeme něco dalšího. Jiné než sčítání rovnic je například násobení. Předtím je ale často musíme upravit – ideálně tak, aby se po násobení něco vykrátilo.

Sečtením zadaných rovnic dostaneme

K důkazu tvrzení tedy stačí ukázat, že $ab = bc+ca$. První rovnici ze zadání upravíme na $a^2 = b(b+c)$ a druhou na $(b-c)(b+c)=ca$. Vynásobením těchto rovností máme

Kdyby $b+c=0$, tak z první upravené rovnice $a^2=0$, tedy $a=0$, což odporuje zadání. Proto můžeme rovnici vydělit nenulovým výrazem $a(b+c)$, čímž dostaneme

což je zřejmě ekvivalentní dokazovanému vztahu $ab=bc+ca$. Tím je důkaz hotov.

Úloha nám naznačuje, že máme hledat rozklad na součin. Náš výraz je ale velmi nepřehledný, zaveďme nejprve vhodnou substituci čísel za písmenka, abychom ho zpřehlednili.

Vyjádření $4=2^2$, $9=3^2$ a $6=2 \cdot 3$ naznačují, že klíčová substituce je $a=2$, $b=3$, výraz je potom roven

Dokážeme toto rozložit na součin?

Trikem k rozkladu $a^{16}+(ab)^8+b^{16}$ je doplnění na čtverec, zkuste doplnit $a^{16}+b^{16}$ na čtverec.

Nechť $a=2$, $b=3$. Výraz ze zadání je potom roven

Tento výraz upravíme doplněním na čtverec a následným použitím vzorce pro rozdíl čtverců:

Dosadíme $a=2$ a $b=3$. Potom $a^4=16$, $b^4=81$, $a^4b^4 = 1296$. Dále $a^8=256$ a $b^8=6561$, a $a^8+b^8 = 256+6561 = 6817$. Jednotlivé závorky jsou tedy rovny:

Obě nalezená čísla jsou čtyřmístná.

Konstanty na levé straně nejsou náhodné a měly by něco připomínat.

To něco, co by tyto konstanty měly připomínat, se dokonce učí ve škole a má jméno.

Levá strana rovnice připomíná binomickou větu pro 4 členy. Vskutku,

To je skoro levá strana rovnice, potřebujeme ještě přičíst 1. Rovnice je tedy ekvivalentní s rovnicí.

V oboru reálných čísel má rovnice dvě řešení $x=-1\pm \sqrt[ 4 ] 7$.

Kvadratické členy nejsou náhodné. Co takhle se podívat na každý zvlášť, nedá se přetransformovat?

Prvním krokem úlohy je uvědomit si, že dva ze tří našich kvadratických členů se dají rozložit na součin – kupodivu to vychází i pěkně, je to náhoda?

Co se čtyřmi lineárními členy a jedním kvadratickým? Trikem je z nich znovu vytvořit tři kvadratické členy.

Aplikováním rad z předešlých návodů bychom měli dojít k rovnici

Její stupeň umíme zjednodušit vhodnou substitucí. Měla by zůstat rovnice s celočíselnými kořeny, kterou už vyřešíme středoškolskými postupy.

Rozložíme první a třetí závorku na součin lineárních činitelů:

Vhodným přeskupením členů máme:

Dosazením do původní rovnice máme

Zavedeme substituci $y = x^2-2x$. Rovnice přejde do tvaru

Po roznásobení a úpravě získáme

Pro $y \in \{0, 5, 7\}$ dořešíme kvadratické rovnice pro $x$:

• $x^2-2x = 0$ má kořeny $0, 2$.
• $x^2-2x-5 = 0$ má kořeny $1 \pm \sqrt{6}$.
• $x^2-2x-7 = 0$ má kořeny $1 \pm 2\sqrt{2}$.

Množina řešení je $\{0, 2, 1 \pm \sqrt{6}, 1 \pm 2\sqrt{2}\}$.

Klíčem je vzpomenout si na algebraickou identitu, která jaksi spojuje některé z výrazů, o kterých je tato úloha.

Klíčová identita je rozklad výrazu $a^3+b^3+c^3-3abc$ na součin. Pokud to neznáte, zkuste si tento rozklad odvodit. V dalším návodu prozradíme možné triky, jak na něj přijít.

K objevení $a^3+b^3+c^3-3abc$ můžeme použít tyto možné postupy:

• Doplníme $a^3+b^3$ na třetí mocninu, tedy vyjádříme z rozkladu $(a+b)^3$.
• Doplníme $a^3+b^3+c^3$ na třetí mocninu, tedy vyjádříme z rozkladu $(a+b+c)^3=...$. Z toho extrahujeme $a^3+b^3+c^3=...$. Zůstanou nám pouze smíšené členy jako $a^2b$, $ab^2$ a $abc$. Ty je potřeba vhodně uspořádat, abychom vytkli něco před závorku.

Prozradíme klíčovou identitu

(V předešlém návodu naznačené odvození najdete v řešení.)

Jak využít klíčovou identitu? Potřebujeme ještě jeden trik: uvědomění si, jak druhá závorka rozkladu souvisí s podmínkou ze zadání.

Podmínku ze zadání můžeme po roznásobení napsat jako

Shodou okolností se nám tu objevila druhá závorka našeho rozkladu. Teď už stačí dát všechno opatrně dohromady.

Nejprve odvodíme identitu pro rozklad výrazu $a^3+b^3+c^3-3abc$. Součet prvních dvou třetích mocnin doplníme na třetí mocninu součtu podle vztahu

Následně použijeme vzorec pro součet třetích mocnin

na členy $(a+b)^3$ a $c^3$:

Druhou závorku označme $K = a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$. Jelikož $a,b,c$ jsou celá čísla, i $K$ je celé číslo. Podmínku ze zadání roznásobíme a upravíme do tvaru

takže $2K=abc$. Tento vztah dosadíme do odvozené identity:

Osamostatněním součtu třetích mocnin dostaneme

Výraz $a+b+c+6$ tedy dělí $a^3+b^3+c^3$.

Poznámka. Ukážeme ještě alternativní způsob doplnění na třetí mocninu pomocí rozkladu ${(a+b+c)^3}$. Po roznásobení platí:

takže

Z posledního řádku lze vytknout $-3$ před závorku, soustřeďme se pouze na vnitřek této závorky:

Teď to už jen dát dohromady:

což je alternativní zápis naší dokazované identity.